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電磁ポテンシャルは電磁場を作り出すスカラーポテンシャル$\backslash phi$とベクトルポテンシャルAの総称。

静的な場合スカラーポテンシャルは静電ポテンシャルとも呼ばれる。ベクトルポテンシャルは真空中におけるマクスウェルの方程式(微分形式)に初期段階では含まれていたが、その後ヘルツによって消去された。ベクトルポテンシャルは長らく計算上便宜的に導入されたものと思われてきたが、アハロノフ=ボーム効果により物理的な意味を持つ量であることが示された。

四元ベクトルとして表せば以下のようになる。

◆真空中におけるマクスウェルの方程式(微分形)

第一の組は、マクスウェル自身の原著論文『電磁場の動力学的理論』や原著教科書『電気磁気論』では、

・ : (0a)

・ $\backslash boldsymbol=\; \backslash nabla\; \backslash times\; \backslash boldsymbol$ : (0b)

であったが、ヘルツによって電磁ポテンシャルが消去され、上記の二式は

・ $\backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash boldsymbol=\; 0$ : (1a)

・ : (1b)

によってとって代わられた。このヘルツによる電磁ポテンシャルの消去後のものを、マクスウェルの方程式とみなすのが、現在の主流の解釈となっている。

そのため、(0a)と(0b)は、以後電磁場の定義式とみなされるようになった。

第二の組は、

・ $\backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash boldsymbol=\; \backslash rho$ : (2a)

・ : (2b)

真空中では、D = ε₀ E、μ₀ H = Bの関係があるので

・ $\backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash boldsymbol$ $=\; \backslash frac$ : (2a')

・ : (2b')

これに(0a),(0b)を代入すると、

・ : (2a' ')

・ $-\; \backslash nabla\; (\backslash frac\backslash frac\backslash phi\; +\; \backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash boldsymbol)\; +\; (-\backslash frac\backslash frac+\backslash nabla^2)\backslash boldsymbol=\; -\backslash mu\_0\; \backslash boldsymbol$ : (2b' ')

四元ベクトルで書くと、

・ $\backslash square\; A^\backslash mu\; -\; \backslash frac=\; -\; \backslash frac$

◆ 静的な場のポテンシャル

電磁場が静的な場合には、それぞれの方程式から時間微分の項が消えるので方程式が簡単になる。

・ $\backslash boldsymbol=\; -\; \backslash nabla\; \backslash phi$ : (0a)

・ $\backslash nabla^2\; \backslash phi\; =\; -\backslash frac$ : (2a)

・ $\backslash boldsymbol=\; \backslash nabla\; \backslash times\; \backslash boldsymbol$ : (0b)

・ $\backslash nabla\; (\backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash boldsymbol)\; +\; \backslash nabla^2\; \backslash boldsymbol=\; -\backslash mu\_0\; \backslash boldsymbol$ : (2b)

静的な場の方程式は、電場と磁場についてそれぞれ独立な式になる。

・ $\backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash boldsymbol=0$

と言う条件を付け加えると(2b)は

・ $\backslash nabla^2\; \backslash boldsymbol=\; -\backslash mu\_0\; \backslash boldsymbol$

となり、スカラーポテンシャル、ベクトルポテンシャル共にポアソン方程式の形になる。

積分で表すとゲージの不定性を除いて以下のように書ける。

:

:

但し、積分領域としては電荷密度、電流密度が存在する範囲全てである。

この方法を用いてポテンシャルを求める場合には、電荷・電流密度の全領域における分布を知る必要がある。(境界条件など、他の条件がある場合にはこの限りではない。)

◆ゲージ変換

電磁場は電磁ポテンシャルの一階の微分方程式で表されるので、その分電磁ポテンシャルにゲージの不定性が生じる。

任意のスカラー関数u(x,t)に対し、

: $\backslash nabla\; \backslash times\; (\backslash nabla\; u)=0$

となるので、

・ $\backslash boldsymbol\text{'}\; =\; \backslash boldsymbol+\; \backslash nabla\; u$

として式(0b)に入れると、

: $=\backslash nabla\; \backslash times\; (\backslash boldsymbol\text{'}\; -\; \backslash nabla\; u)$

: $=\backslash nabla\; \backslash times\; \backslash boldsymbol\text{'}$

となり、方程式の形は変わらない。さらに式(0a)にも入れると、

:

:

ここで

・ $\backslash phi\; \text{'}\; =\; \backslash phi\; -\; \backslash frac$

とすると方程式の形は変わらない。

・ $\backslash phi\; \backslash rightarrow\; \backslash phi\; \text{'}\; =\; \backslash phi\; -\; \backslash frac$

・ $\backslash boldsymbol\backslash rightarrow\; \backslash boldsymbol\text{'}\; =\; \backslash boldsymbol+\; \backslash nabla\; u$

とする変換をゲージ変換と言う。この変換に対して電磁場は不変である。

四元ポテンシャル$A\_\backslash mu$で表せば以下のようになる。

・ $A\_\backslash mu\; \backslash rightarrow\; A\text{'}\_\backslash mu\; =A\_\backslash mu\; +\; \backslash frac$

スカラーポテンシャルは常にゲージ変換によって φ = 0 とすることが可能である。

しかしベクトルポテンシャルは一般には A = 0 とすることは不可能である。

◇ ローレンツゲージ

ゲージ変換によって以下の式を満たすような電磁ポテンシャルを作ることが可能である。

・ $\backslash frac\backslash frac+\; \backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash boldsymbol=\; 0$ (ローレンツ条件)

この条件式を満たす電磁ポテンシャルを用いてマクスウェルの方程式を書き換えると、以下の非斉次の波動方程式が得られる。

・ $\backslash square\; \backslash phi\; =\; -\; \backslash frac$

・ $\backslash square\; \backslash boldsymbol=\; -\; \backslash mu\_0\; \backslash boldsymbol$

また、ローレンツゲージは、四元ベクトルで書くと、

: $\backslash frac=\; 0$ (ローレンツ条件)

: $\backslash frac=\; \backslash square\; A^\backslash nu\; =\; -\; \backslash mu\_0\; j^\backslash nu$

であり、ローレンツ変換に対して不変な形になっている。

◇ クーロンゲージ

・ $\backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash boldsymbol=0$

この条件式を満たす電磁ポテンシャルを用いてマクスウェルの方程式を書き換えると、

・ $\backslash nabla^2\; \backslash phi\; =\; -\; \backslash frac$

・ $-\; \backslash nabla\; \backslash frac\backslash frac\backslash phi\; +\; (-\; \backslash frac\backslash frac+\; \backslash nabla\; ^2)\backslash boldsymbol=\; -\; \backslash mu\_0\; \backslash boldsymbol$

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