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逆問題(ぎゃくもんだい、Inverse problem)とは、応用数学の一分野であり、順問題(じゅんもんだい、Direct problem)と対になる。入力(原因)から出力(結果、観測)が求められる問題を''順問題といい、その逆に出力から入力を推定する問題を逆問題という。

単純な順問題・逆問題の例を示す。数列 a_n = n² を考えたとき、n = 1 で a_n = 1、n = 2 で a_n = 4、n = 3 で a_n = 9 となる。この計算を順問題とした場合、逆問題は、a₁ = 1、a₂ = 4、a₃ = 9 というデータから、一般項 a_n を推定することである。

逆問題は入力を求める、と一口に言っても、ここでの「入力」とは単に入力信号のようなものだけを指すのではない。例えば、物理学・工学で材料に関する問題においては、扱う材料に作用している外力を求める逆問題だけでなく、

・材料の境界・領域形状を求める

・材料を支配している方程式を求める

・材料についての境界値あるいは初期値を求める

・材料の物性値を求める

といった、複数の逆問題が存在する。様々な問題設定があるように、様々な有益な用途があり、理論・実用の両面から研究が行われている。

◇適切性と非適切な問題

逆問題を解く際によく問題になるのが適切性 (良設定問題、well-posedness) である。次の3つの条件が満たされるとき、アダマールの意味で適切であるという。

#解の存在性: 解が存在すること

#解の一意性: 解がただ一つであること

#解の安定性: 入力に微小な変動を与えたときに、出力の変動も微小であること

上に挙げた数列の例で、逆問題には a_n = n² のほか、例えば a_n = n³-5n²+11n-6 も解となり、解の一意性が満たされない。よって、非適切 (ill-posed) な問題といえる。

その他、微分方程式、積分方程式などに関する逆問題では解の安定性が得られず非適切な問題となることが多い。

◇ティホノフの正則化法

非適切な問題の近似解を得る手法として最もよく使われるのがティホノフの正則化法 () である。

線形有界作用素 K : X→Y についての方程式 Kx = y の近似解を得るために、ティホノフ汎関数:

:J_α(x) = ‖Kx-y‖²+α‖x‖² for x∈X α:正則化パラメータ

を導入し、これを最小にする x^α∈X を求める。

近似解を真の解に近づけるためには、正則化パラメータ α を誤差 η = (δ, h) に応じて次のように設定すればよいといわれている:

:$\backslash mu\_\backslash eta(K\_h,\; y\_\backslash delta)\; =\; \backslash inf\_\backslash |K\_h\; x-y\_\backslash delta\backslash |\_Y$

という汎関数を設定し、

:$\backslash rho\_\backslash eta^\backslash kappa(\backslash alpha)\; =\; \backslash |K\_h\; x\_\backslash eta^\backslash alpha-y\_\backslash delta\backslash |\_Y^2\; -\; (\backslash delta+h\backslash |x\_\backslash eta^\backslash alpha\backslash |\_X)^2\; -\; \backslash mu\_\backslash eta^\backslash kappa(K\_h,\; y\_\backslash delta)^2$

について、ρ_η^κ (α*) = 0 となるような α* (η) を選ぶ。

・関連項目: ヒルベルト空間、コンパクト

◆実装

実際の逆問題では、N 個の誤差のある観測値 y₁, y₂, $\backslash ldots$, y_N から、M 個のパラメタ x₁, x₂, $\backslash ldots$, x_M を推定するという問題設定が多い。観測不可能な真の値 x_i と、観測値 y_μ は、線形の関係があると仮定される。

:$y\_i\; =\; \backslash sum\_\backslash mu\; K\_x\_\backslash mu\; +\; n\_i$

ここで、K_{i μ} は分かっているものとする。ノイズ n_i は観測不可能だが、その統計的性質として平均 0 と、共分散

:$S\_=\; E(n\_i\; n\_j)$

は分かっているものとする。ここで、E() は統計平均を取る操作。

もし、観測が全て独立でその数 N が、パラメタの数 M より多ければ、最小自乗法で、x の推定値を求めることができる。しかし、観測が独立でなかったりその数がパラメタの数より少ないとき、x を求める問題は劣決定となり、上記適切性のうち解の一意性が満たされない非適切な問題となる。よって、その問題に即した適当な正則化を行って、解を求める必要がある。

式で書けば、ノイズを最小にするには

:$J\; =\; \backslash sum^N\_\backslash sum^N\_n\_i\; S^\_n\_j$

あるいは、行列表示して

:$$

J = \textbf^T\textbf^\textbf

= (\textbf\textbf - \textbf)^T\textbf^(\textbf\textbf - \textbf)

(上付き添字 T は転置行列を表す)なる J を最小にする x を決める問題になるが、行列 K は行より列が多く、Kx=y の解が無数にあるという状況になる。そのため、正則化を行って解をひとつに定める。以下にいくつかの正則化の方法を紹介する。以下の議論で本質的に重要でないため、ノイズは分散 1 でそれぞれ無相関なものとする(つまり、S=単位行列)。

◇零次の正則化

正則化パラメタ α を用いて、

:$J\; =\; (\backslash textbf\backslash textbf-\; \backslash textbf)^T(\backslash textbf\backslash textbf-\backslash textbf)\; +\; \backslash alpha\; \backslash textbf^T\; \backslash textbf$

と取る。つまり、無数の解のうち x の大きさを小さくにするものを推定値として採用する。α が小さいとき、これは Kx=y を特異値分解で解いた解と一致する。パラメタ α の取り方は問題設定によって異なる。一例としては、観測誤差が正規分布に近いと期待される場合、第一項は自由度 N のカイ二乗分布となることが期待され、その平均値は N となる。よって、第一項が N に近くなるように α を調整する。

◇線形の正則化

x の大きさより、滑らかさが重要なときは、$x\_-x\_i$ を第二項にした

:$J\; =\; (\backslash textbf\backslash textbf-\; \backslash textbf)^T(\backslash textbf\backslash textbf-\backslash textbf)\; +\; \backslash alpha\; (\backslash textbf)^T\; \backslash textbf$

を最小にするような x を定める。

ここに、B は

:$$

\begin

-1 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\

0 & -1 & 1 & \ldots & 0 \\

\vdots & & \ddots & & \vdots \\

0 & 0 & \ldots & -1 & 1

\end

なる成分を持つ。

同様に x が線形に増加すると期待されるとき、x が二次関数的に増加すると期待されるとき、なども適当な B を設定することで解くことができる。

◇バッカス=ギルバート法

上の二つの正則化もそうであったが、x の推定値 は観測値の線型結合で表されている。

:

観測値 y は、真の値をノイズ付きで観測したものだから、y の定義式を代入して

:

K は N 行 M 列()だから、逆行列は存在しないが、ノイズがなければ、よい観測は となるはずである。そこで、LK=I と L を定めればよさそうである。すなわち、行列 LK の成分 _ij がクロネッカーのデルタ δ_ij になれば理想的である。しかし、実際にはノイズがあるからこのようにはならない。そこで、クロネッカーのデルタにできるだけ形の近いものになるようにする。バッカスとギルバートは LK の行ベクトルのクロネッカーのデルタからのずれ、

:$\backslash sum\_^N\; (i-j)^2(\backslash \_-\backslash delta\_)^2$

を最小にすれば良いと考えた。これが最小化関数 J の第一項となる。

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