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角度(かくど)とは、角(かく)の大きさを表す量・測度のこと。

角は広義には諸々の線や面の 2つが交わって、その交点や交線のまわりにできる図形を指す。2つの線や面が交わって角を作ることを角をなすという。さらに広義には、交わる 2つうちの片方もしくは両方が高次元空間中の超平面でもよい。多くの場合は、単に角と言えば平面上の図形に対して定義された平面角を指し、さらに狭義には直線同士の交わりによりできる図形を指す。この場合の角度とは、同じ端点を持つ 2つの半直線の間の隔たりを表す量といえる。また、直線以外の曲線や面などの図形がなす角の角度も、何らかの 2つの直線のなす角の角度として定義される。

立体的な角として立体角も定義されているが、これは上記の定義には当てはまらない。その大きさは単に立体角と呼ばれることが多く、角度と呼ばれることはほとんどない。

以下、本項目においては平面角を扱う。

◆ 定義

◇ 直線のなす角

ひとつの定まった値の角度を伴う角(かく)の定義は、

平面α上の一点 O とそれから出る 2 つの半直線、およびそれらにより平面αが分割されて生じる 2つの領域のうちの一方α1、の三者からなる図形、というものである。ただし後述のように、この定義は数学における主要な定義とは微妙に異なる。

なお、このとき点 O を角の頂点(vertex)、 2つの半直線を角の辺(side)というD.ヒルベルト(David Hilbert)、中村幸四郎(訳) 『幾何学基礎論』筑摩書房〈ちくま学芸文庫〉、(2005/12)、ISBN 4-4800-8953-5日本数学会『岩波数学辞典-第3版』岩波書店(1985/12)、ISBN 4-0008-0016-7『日本国語大辞典-第六版』小学館(2001/06)。

ここで頂点 O を中心とする半径 r の円を考えると、無限領域α1の一部でありこの円と上記 2 つの半直線で囲まれた有限領域である扇形ができる。この扇形の弧の長さは半径 r に比例し面積はr ² に比例するが、その比例係数が角度になる。従って角度の大きさは扇形の弧と半径の比で定義するのが一般的である。

ここで 2つの半直線が最初は同じものとして重なっており、一方が、その端点を点 O に固定されたままで領域α1内を徐々に移動(回転)していったものと考えると、角度はこの移動量(回転角)を示すものでもある。この観点からは角度は 2 つの半直線の開き具合を示す量ともいえる。実際、このような回転から角および角度を定義している事典もあるW.Gellert(編)、藤田宏(訳)『図説 数学の事典』朝倉書店(1992/12)、ISBN 4-2541-1051-0。

上記の点 O と 2つの半直線が定まると、それらにより平面αが分割されて生じる 2つの領域にそれぞれ対応して 2つの角が生じる。この 2 つの角のうち角度が大きいほうを優角一松信、伊藤雄二『数学辞典』朝倉書店(1993/06)、ISBN 4-254-11057-x竹林滋(編)『新英和大辞典-第6版』研究社(2002/03)、ISBN 4-7674-1026-6『広辞苑-第五版』岩波書店(1998/11)、ISBN 4-0008-0112-0『日本国語大辞典-第六版』小学館(2001/06)、小さいほうを劣角『広辞苑-第五版』岩波書店(1998/11)、ISBN 4-0008-0112-0『日本国語大辞典-第六版』小学館(2001/06)と呼ぶ。明らかにどんな一組の頂点と2辺についても、その優角と劣角との角度の和は、2πで一定である。

平面α上の 1点で交わる 2つの直線は平面αを 4つの領域に分け、それぞれの領域に対応する 4つの角が生じる。これら 4つの角を、この 2つの直線のなす角という。1点で交わる 2つの直線は同一平面上にあるので、"平面上の"という条件は実は必要がない。

ダフィット・ヒルベルトがその著書の"幾何学基礎論"において示した公理系D.ヒルベルト(David Hilbert)、中村幸四郎(訳) 『幾何学基礎論』筑摩書房〈ちくま学芸文庫〉、(2005/12)、ISBN 4480089535では、「端点を共有する 2つの半直線の組」(引用文献のままの表現ではない)として角を定義しており、日本でもこの主旨の定義を採用している数学辞典一松信、伊藤雄二『数学辞典』朝倉書店(1993/06)、ISBN 4-254-11057-x日本数学会『岩波数学辞典-第3版』岩波書店(1985/12)や国語辞典『広辞苑-第五版』岩波書店(1998/11)、ISBN 4-0008-0112-0『日本国語大辞典-第六版』小学館(2001/06)松村明(編)『大辞泉』小学館(1995/11)、ISBN 4-0950-1211-0が多く、最も受け入れられた数学的定義とみなせる。

この定義の前記定義との違いは 2つの半直線が挟む領域を含めていないことである。ヒルベルトの公理系ではそのかわり、平面αが角(2つの半直線)により分割されて生じる 2つの領域の一方を角の内部、他方を角の外部として区別している。角度の小さい領域が内部になるのだが、この段階では角度はまだ定義されていないため、別の方法での定義をしている。そして定理20で角の大小関係を定義している。すなわち、1辺を共有する 2つの角のうち1方の角θ1の辺が他方の角θ2の内部にあれば、θ1<θ2であると定義する。すなわち、角の大小関係として劣角の角度の大小関係を採用したことになる。

ユークリッドの著作『原論』エウクレイデス(著),斎藤憲(訳),三浦伸夫(訳)『エウクレイデス全集-第1巻(1)』東京大学出版会(2008/01)、ISBN 4-1306-5301-6中村幸四郎(著,訳)、寺阪英孝、他(訳)『ユークリッド原論-縮刷版』共立出版(1996/6/1)、ISBN 4-3200-1513-4ユークリッド原論のサイト、外部リンク参照では第1巻の定義8において、「互いに交わる 2つの線(line)の傾き(inclination)」(引用文献のままの表現ではない)と定義されている。"傾き"という語の解釈次第では 2 つの直線で分割された領域のいずれかを含むと解釈することも可能であり、そう解釈している辞典もある『岩波数学入門辞典』岩波書店 (2005/9/29)。またこの定義と同じように「"傾き"である」という定義を採用している国語辞典もある『日本語大辞典』講談社(1989/11)、ISBN 4-4061-21057-2。またこの定義での2つの線は線(原論では定義2)であって直線(原論では定義4)ではないので、曲線も含まれるエウクレイデス(著),斎藤憲(訳),三浦伸夫(訳)『エウクレイデス全集-第1巻(1)』東京大学出版会(2008/01)、ISBN 4-1306-5301-6B.アルトマン(Benno Artmann)、大矢建正(訳)『数学の創造者-ユークリッド原論の数学』シュプリンガー・フェアラーク東京(2002/11)、16頁、ISBN 4-4317-0969-X。2つの半直線の傾きとしての角、つまりヒルベルトの定義による角は、定義9で直線角(rectilinear)という名称で定義されている。

英英辞典には 2つの半直線の間の領域(space)が角であるとするものもある『オックスフォード現代英英辞典-第7版』オックスフォード大学出版局(2005/11)、ISBN 4-01-075292-0。

◇ 曲線のなす角

2つの滑らかな曲線が交わるとき、その交点におけるそれぞれの接線同士がなす角を、これらの曲線のなす角という。

◇ 平面のなす角

ひとつの直線 l で交わる 2つの平面αとβを考える。l 上の任意の 1点 A を通り、l に垂直で、それぞれ平面αおよびβ上にある直線を考え、この 2直線のなす角を、平面αとβのなす角という。この 2直線は点 A で交わるので、角をなし、その角度は点 A を l 上のどこにとっても等しい。平面同士のなす角を二面角(dihedral angle)ともいう。

◆ 分類

◇ 大きさによる分類

以下、角度θは弧度法で表す。0から2πまでの大きさの角を、その範囲により次のような名称でよぶ。ただし直角には定量的角度を使わない定義があり、ヒルベルトの公理系などで採用されている。

日本では、鋭角、直角、鈍角は中学までには学ぶ用語だが、それ以外の用語は高校教科書でも使われず、使用頻度は少ない。

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