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「表面積」||性病の全知識.com 【05/29update】
表面積
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表面積
(ひょうめんせき)は、
立体図形
の
表面
の
面積
。なお表面とは、図形を
位相空間
の
部分集合
で表した場合の、その
境界
と定義される。
ユークリッド空間
では、図形が
a
倍に拡大されると、
体積
が
a
3
倍になるのに対し、表面積は
a
2
倍になる。ただし、3軸それぞれについて
a
、
b
、
c
倍に拡大された場合は、体積は
abc
倍になるが、表面積の変化は図形による。
せん断
成分のある変形に対しては、体積は一定だが表面積は一般に異なる。たとえば、底面が合同で高さが同じ
平行六面体
と
直方体
は、体積が等しいが表面積は異なる。
表面積は、一般には
積分
を使って計算される。
対称性
の高い図形のみ、初等数学で求まる
公式
が得られる。
楕円体
のように、体積は簡単に求まるが表面積を求めるには複雑な計算が必要な図形もある。
◆表面積の公式の例
) \, || 底面の半径
r
、高さ
h
|-
| align="center" |
直円柱
|| bgcolor="#ffffff" |
2 \pi r (r + h) \,
|| 底面の半径
r
、高さ
h
|-
| align="center" |
直柱体
|| bgcolor="#ffffff" |
2 B + s h \,
|| 底面積
B
、底面の周
s
、高さ
h
|-
| align="center" |
デルタ多面体
(
正四
・
八
・
二十面体
を含む) || bgcolor="#ffffff" |
\frac \sqrt 3 4 n a^2 \,
|| 辺長
a
、面数
n
|-
| align="center" |
正十二面体
|| bgcolor="#ffffff" |
3 \sqrt a^2 \,
|| 辺長
a
|-
| align="center" |
メンガーのスポンジ
|| bgcolor="#ffffff" |
\infty \,
||
| -->
◆高次元図形の表面積
一般の
n
次元図形については、図形の表面の
n
- 1 次元
ルベーグ測度
を表面積と呼ぶ。面積(2次元ルベール測度)でないことを強調したいときは、
超表面積
ともいう。
ユークリッド空間では、図形が
a
倍に拡大されると、体積(図形の
n
次元ルベーグ測度)は
a
n
倍、表面積は
a
n
- 1
倍になる。
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