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特異点(とくいてん、singularity)とは、ある基準 (regulation) の下、その基準が適用できない (singular) 点の総称である。したがって、特異点は基準があって初めて認識され、「 - に於ける特異点」「 - に関する特異点」という呼ばれ方をする。特異点という言葉は、数学と物理学の両方で用いられる。

◆ 例

・ 複素解析における正則関数の正則性 (regularity) に関する特異点とは、複素関数で微分不可能な点をさす。具体的には、可除特異点 (removable singularity)、極 (pole)、真性特異点 (essential singularity) の3種の孤立点がある。有理関数 1/x に於ける特異点は、x = 0 であり、これは 1 位の極である。

・ 局所的な変換が一対一を保たない点。円座標平面 (r,θ) に於ける特異点は、r = 0 である。(関数行列参照)

・ 宇宙物理学では重力に関する特異点が考えられ、重力の特異点 (gravitational singularity) という。ブラックホール内には、時空に於ける特異点が存在する。(特異点定理参照)

◆ 関数の特異点

数学において、特異点とは一般に、与えられた数学的な対象が定義されない点、または微分可能性のように、ある性質が保たれなくなるような例外的な集合に属する点をいう。

例えば、関数

-->

は $x\; =\; 0$ で $\backslash pm\; \backslash infty$ に発散し、定義されないので、このとき $x\; =\; 0$ は特異点であるという。

絶対値関数 $g(x)\; =\; |x|$ は $x\; =\; 0$ で微分できないので、このとき $x\; =\; 0$ は特異点であるという。

また、$y^2\; =\; x$ で定義されるグラフは、点 $(0,0)$ で垂直な接線を持つので特異点であるという。

$(x,y)$ 座標系の $y^2=x^2$ で定義される代数集合は、点 $(0,0)$ で接線を持たないので特異点であるという。

複素解析における正則関数の正則性に関する特異点は3種類ある。 $U$ を $\backslash mathbb$ の開部分集合、$a$ は $U$ の元、$f$ は $U\; \backslash setminus$ で定義された正則関数とする。

・ $U\; \backslash setminus$ のすべての点 $z$ で $f(z)\; =\; g(z)$ となるような $U$ のすべての点で定義される正則関数 $g$ が存在するとき、点 $a$ は $f$ の可除特異点である。

・ $U\; \backslash setminus$ のすべての点 $z$ である自然数 $n$ に対して$f(z)\; =\; g(z)/(z-a)^n$ となるような $U$ のすべての点で定義される正則関数 $g$ が存在するとき、点 $a$ は $f$ のn位の極である。

・ 可除特異点でも極でもないとき、点 $a$ は $f$ の真性特異点である。

◆ 力学系における特異点

力学的な変数が有限時間に無限に増加すると、有限時間の特異性が起こる。 例として、平面における弾力性のないボールの弾性が挙げられる。 ボールは衝突の度に運動エネルギーが失われて有限時間の後に停止するはずだが、そのときの弾む頻度を考えると無限になってしまう。

◆科学技術社会の特異点

◆ 関連項目

・ 正則

・ 動く特異点

・ 特異点解消

・ 特異点定理 | 裸の特異点

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・特異点 page1