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渦巻(うずまき)は、渦が巻くような、旋回するにつれ中心から遠ざかる(あるいは逆向きにたどれば近づく)曲線である。主に平面曲線であるが、曲面上にも定義できる。

渦巻線(うずまきせん)、スパイラル (spiral)。しばしば螺旋と呼ばれる。自然界での気体や液体は螺旋となるものは少なく殆どは重力や圧力によって渦巻を成す。植物の蔓(つる)は局部的に螺旋または渦巻を成すことがある。

◆渦巻の例

・アンモナイトやオウムガイの貝殻。なお、二枚貝の貝殻もきわめて巻き数が少ない渦巻である。

・レコードやCDのトラック。(DVDやハードディスクのトラックは同心円である)

・蚊取り線香。

・渦巻銀河の腕。

・指紋の分類の1つ渦状紋

・流体の渦。台風など。

Image:NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg|オウムガイの貝殻。

Image:Katorisenkou.jpg|蚊取り線香。

Image:Aloe polyphylla spiral.jpg|アロエの葉。

Image:Basque plaque in Boise, Idaho.JPG|ボイシの舗装タイル。渦巻状に銘文が配されている。

Image:M51 center hst.jpg|渦巻銀河M51。

Image:Typhoon Talim 2005.jpg|2005年のタリム台風(13号)。

◆渦巻と螺旋

渦巻(スパイラル)は、旋回するにつれ中心から遠ざかる2次元曲線だが、螺旋(ヘリックス)は、旋回するにつれ旋回面に垂直成分を持つ方向に動く3次元曲線である。螺旋の例としては螺旋階段、ねじの溝、DNA分子などがある。

スパイラルとヘリックスの混同は英語でも見られるが、日本語とは逆に、学術的にはヘリックスであるものがスパイラルと呼ばれることが多い。たとえば、螺旋階段は英語ではspiral stairwayである。

渦巻と明確に区別するため、本来の螺旋を弦巻線と呼ぶことがある。

螺旋を平面に投影すると、渦巻の一種の双曲螺旋となる。

◆数学的記述

デカルト座標より極座標で簡単に記述できることが多い。極座標では、$r$ が $\backslash theta$ の滑らかな単調関数(単調増加関数または単調減少関数)として記述できる。デカルト座標では角度を媒介変数として表す。

代表的な渦巻線の例は以下のとおり。

・$r\; =\; a\; +\; b\; \backslash theta\; \backslash ,$ : アルキメデスの螺旋。線が等間隔となる。

・$r\; =\; \backslash pm\; a\; \backslash sqrt\; \backslash theta\; \backslash quad\; (r^2\; =\; a\; ^\; 2\; \backslash theta)$ : フェルマーの螺旋。原点で滑らかに繋がる2本のらせんからなる。

・$r\; =\; \backslash frac\; a\; \backslash theta\; \backslash quad\; (r\; \backslash theta\; =\; a)$ : 双曲螺旋。有限の巻き数で無限遠点に発散し、y = a に漸近する。

・$r\; =\; \backslash frac\; a\; \backslash sqrt\; \backslash theta\; \backslash quad\; (r\; ^\; 2\; \backslash theta\; =\; a\; ^\; 2)$ : リチュース。有限の巻き数で無限遠点に発散し、x軸に漸近する。

・$r\; =\; a\; b\; ^\; \backslash theta\; \backslash ,$ : 対数螺旋。角度が一定で、自らを拡大縮小したものと合同。

・クロソイドまたはコルヌ螺旋、オイラーの螺旋。中心を2つ持つため式は複雑になる。

これらのうち、代数式で表せるものを代数螺旋という。アルキメデスの螺旋は明らかに代数螺旋だが、( ) 内に代数式への変形を示した螺旋も、代数螺旋である。

Image:Archimedean spiral.svg|アルキメデスの螺旋

Image:Fermat's spiral.svg|フェルマーの螺旋

Image:Hyperspiral.svg|双曲螺旋

Image:Lituus.svg|リチュース

Image:Logarithmic spiral.svg|対数螺旋

Image:Cornu Spiral.svg|クロソイド

◆曲面上の渦巻

地球上で一定の方角を保ったまま進んだときの軌跡、つまり等角航路は、球面上の渦巻(対数螺旋)である。

巻貝の貝殻は、円錐面上の渦巻(対数螺旋)である。

これらの曲面を円筒面へと近づけた極限は螺旋となる。たとえば、等角航路は赤道付近では螺旋に近いし、頂角が狭い円錐面上の渦巻は頂点付近を除けば螺旋に近い。ただし、真の螺旋は曲面上の渦巻と異なり、中心がない。

◆象徴

渦巻は回転の象徴として使われる。

多くの古代文明で、死と再生の循環の象徴とみなされ、墓などにしばしば描かれた。

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