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慣性モーメント(Moment of inertia)あるいは慣性能率とは、物体の回転のしにくさをあらわす量である。もっと正確に言えば回転運動の変化(回りだす、止まる)のしにくさをあらわす。質量のモーメントとしてあらわされる。

重さの無視できる棒の両端に、質量m,Mの物体がくっついたものを考える。棒の適当な位置に回転の中心となる点を定め、そこから両端までの腕の長さをそれぞれa,Aとする。このとき、中心に対する慣性モーメントIは、

:$I=m\; a^2\; +\; M\; A^2$

と、計算される。この定義から明らかなように、慣性モーメントは、中心(中心軸)のとり方によってその値が変わる。中心として系の重心をとったとき、慣性モーメントは最小となる。すなわちもっとも回しやすい。

一般にN個の質点からなる系の慣性モーメントは、

と定義される。m_iはi番目の質点の質量、r_iは中心軸からの距離である。

対象が連続体であるときの慣性モーメントの定義は、

となる。rは中心軸からの距離、dmは微小質量、ρは密度分布である。

剛体の角運動量 $\backslash boldsymbol\; L$ と角速度 $\backslash boldsymbol\backslash omega$ の関係は

と記述できる。角速度ベクトルと角運動量ベクトルが平行の場合は $I$ はスカラーとなるが、一般の場合はテンソルとなり、慣性テンソルと呼ぶ。

すなわち、

L_x\\L_y\\L_z\end = \beginI_&-I_&-I_ \\ -I_&I_&-I_ \\ -I_&-I_&I_\end \begin\omega_x\\ \omega_y \\ \omega_z\end -->

ここで、

= I_x = \int (y^2+z^2)\rho dV,\quad I_ = I_y = \int (x^2+z^2)\rho dV,\quad I_ = I_z = \int (x^2+y^2)\rho dV -->

= I_ = \int xy\rho dV,\quad I_ = I_ = \int zx\rho dV,\quad I_ = I_ = \int yz\rho dV -->

$I\_x$ ・ $I\_y$・$I\_z$ を(それぞれ x、 y、 z軸に関する)慣性モーメント、

$I\_$ ・ $I\_$ ・ $I\_$ を慣性乗積という。

ここで、慣性テンソル行列は実対称行列なので、適当な直交座標系 $\backslash$ をえらぶことで対角化(すなわち $I\_=I\_=I\_=0$)することができ、そのときの座標軸を慣性主軸、

慣性モーメント $\backslash$ のことを主慣性モーメントと呼ぶ。慣性主軸座標系では角運動量は

L_1\\L_2\\L_3\end = \beginI_1&0&0\\0&I_2&0\\0&0&I_3\end \begin\omega_1\\ \omega_2\\ \omega_3\end -->

と単純に表すことができる。

工学での応用として、回転軸に慣性モーメントの大きい回転体を取り付けた装置をフライホイール(はずみ車)という。これは、回転数の急激な変化を抑止したり、回転によるエネルギーを保存する目的で使用される。

◆関連項目

・トルク

・オイラーの運動方程式

・断面二次モーメント

・慣性計測装置

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・慣性モーメント page1