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平面(へいめん)は数学で扱う2次元の基本的な物体、または概念である。直感的にいって、平らな紙を無限に広げた形状を持つ。幾何学や三角法などで詳しく研究されており、グラフなどは主に 2 次元に、言い換えると平面上に描かれる。

◆ デカルト座標

平面が与えられたとき、解析幾何学的手法としてデカルトの直交座標を導入することにより、平面上の任意の点は二つの実数の組によって一意的に指定することが出来る。

あるいは 3 次元の空間を x, y, z の 3 つの軸を持つデカルト座標(xyz-座標)で表したとき、その空間内の平面は、方程式

: ax + by + cz + d = 0

(a, b, c, d は実数で、abc ≠ 0)の解全体の作る部分集合の全体として表される。あるいは、これを二つの一次独立な 3 次元ベクトル v, w と別の 3 次元ベクトル u および、二つの実数値パラメータ s, t を用いて

: u + s v + t w

のかたちに表すことも出来る。この平面上の点は二つのパラメータの値の組 (s, t) によって一意的に指定される。

ベクトルによる表示においては、ベクトルの次元は特に制限されない。すなわち、一般の n 次元ユークリッド空間(n = 2 の場合が最初に述べた意味での平面)における任意の平面は、三つの n 次元数ベクトル u, v, w(v, w は一次独立)と二つの実数値パラメータ s, t によって

: u + s v + t w

のかたちに必ず表される。

平面は次のどの条件を与えても、それを満足するものはただ一つに決定される。

・ 同一直線上にない 3 点を通る。

・ 一つの直線を含み、その直線上にない一つの点を通る。

・ 平面の通る一点と、その平面に直交する一つの直線が指定されている。

・ 平行であるかただ一点で交わる二つの直線を含む。

ユークリッド空間においては、二つの平面は互いに平行であるか、そうでなければただ一つの直線を共有する(平面の交線)。

◆ 関連項目

・ フラットランド (小説)

・ 立体

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・平面 page1