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平方根(へいほうこん、square root)とは、ある値が与えられた時、自乗してもとの値となるような新たな値のことをいう。幾何学的には、与えられた値を面積として持つ正方形を考えるとき、その一辺の長さは面積の平方根(の一つ)を与えるということで平方根のひとつの意味づけができる。また、単位長さと任意の長さ x が与えられたとき、長さ x の平方根は定規とコンパスを用いて作図することができる。二乗根(にじょうこん)、自乗根(じじょうこん)とも言う。

◆ 定義

ある与えられた値 a に対して、$a=b^2$ となるような b を一般に、a の平方根という。ただし、これらがどのような値をとるかによって、この概念が意味を持つかどうかということを含め、さまざまな点で差異が生じるということに注意が必要である。

a = 0 ならば a の平方根は 0 のみである。また、どんな正の実数 a に対しても平方根は正と負の2つ存在し、そのうち正である方を根号(こんごう、)√ を用いて

:$\backslash sqrt$

のように表して「正の(あるいは非負の)平方根」(; 主平方根)と呼ぶ(文脈上紛れのおそれの無いと思われるときは「正の」を省略してしまうこともある)。このとき、もう一方の「負の平方根」は $-\backslash sqrt$ と表すことができる。また、2つの平方根を合わせて $\backslash pm\; \backslash sqrt$ と表記することもできる。例えば、16 の平方根は 4 と −4 の2つであり、$\backslash sqrt$ は 4 の方を表す。$\backslash sqrt$ は、0 の唯一の平方根 0 を意味すると約束する。根号に関するこれらの規約は、非負の実数の範囲でのみ通用する便宜的なものであることに注意を要する。

負の実数に対する平方根は、考える数の範囲を複素数まで拡大してやれば定義できる。また、数とは限らず、もっと一般にいくつかの数学的対象についても、それぞれに意味のある仕方で平方根が定義されるものがある(正定値行列など)。

◆ いくつかの基本的なこと

与えられた値 a が整数であっても、それが平方数でない限り a の平方根は整数にならない。例えば $\backslash sqrt$ は小数表示すれば 3.16227766016… と小数部分が無限に続く無理数である。平方根がふたたび整数となるような整数は平方数と呼ばれる。整数や小数で表された数の平方根を、筆算で求める方法が知られていて、それを開平法という。

0 < a, x, y について $a\; =\; x^2y$ が成り立つならば、その正の平方根について $\backslash sqrt=\; x\; \backslash sqrt$ と書くことができるから、整数 a が平方因子を持つ場合は、根号の中身が小さい別表示が与えられる。 例えば 18 = 3² × 2 であるから、$\backslash sqrt=\; 3\backslash sqrt$ と表せる。

いくつか基本的な数の平方根については、概数として大体の値を知る必要から、以下のような無限小数の数桁目までの値を覚えるための語呂合わせが知られている。

・$\backslash sqrt=1.41421356\backslash ldots$ 一夜一夜に人見頃(ひとよひとよにひとみごろ)

・$\backslash sqrt=1.7320508075\backslash ldots$ 人並みに奢れや女子(ひとなみにおごれやおなご)

・$\backslash sqrt=2.2360679\backslash ldots$ 富士山麓鸚鵡鳴く(ふじさんろくおーむなく)

・$\backslash sqrt=2.4494897\backslash ldots$ ツヨシ串焼くな(つよしくしやくな)$\backslash approx$ 2.44949 似よ良く良く(によよくよく)、二夜しくしく(によしくしく)

・$\backslash sqrt=2.64575\backslash ldots$ 菜 (7) に虫いない((な)にむしいない)

・$\backslash sqrt=2.828427\backslash ldots$ ニヤニヤ呼ぶな(にやにやよぶな)

・$\backslash sqrt=3.162277\backslash ldots$ 父 (10) さん一郎兄さん(とうさんいちろーにーさん)

実数 x に対して、その平方 x² は非負の実数であって

:$$

\sqrt = |x| \left(= \begin

x, & \mboxx \ge 0 \\

-x, & \mboxx \le 0

\end\right)

が成り立つ。ここで |x| は x の絶対値である。また、x と y が非負の実数であるときには

:$\backslash sqrt=\; \backslash sqrt\; x\; \backslash sqrt\; y$

が成り立つ。これは(証明を述べれば明らかであるが)非負の実数に対してその非負の平方根が一意に定まるということに依存して成立しており、後に述べるようにもっと一般の場合には保障されず実際に複素数の範囲の議論では破綻する。また、非負実数 x に対しては、その冪乗と冪根について

:$x=(\backslash sqrt)^2=(\backslash sqrt[外部リンク]4)^2=(\backslash sqrt[外部リンク]6)^2=\backslash cdots$

が成立しており、特に

:$x^:=\; \backslash sqrt$

と定めることは(有理数として 1/2 = 2/4 = 3/6 = … のように同じものに無数の表示があるということと矛盾しないという意味で)well-defined で、(指数法則の成立などのいくつかの性質に関して)整合的である。

◆ 平方根函数

入力 x に対してその非負の平方根 √x を返す函数 f(x) = √x を非負実数全体の集合 R⁺ ∪ 上で定義されていると考えた正の平方根函数

:

は(函数として well-defined で)、それ自身への全単射になる。正の平方根函数のグラフと負の平方根函数

:

のグラフを合わせたものは、二次函数 y = x² のグラフと直線 y = x に関して対称であるような抛物線を成す。

正の平方根函数 √ は連続かつ至る所微分可能で

:

を満たし、原始関数のひとつは

: $\backslash int\; \backslash sqrt\backslash ,dx\; =\; \backslash frac\backslash sqrt^3$

で与えられる。また、冪級数としての二項展開

: $\backslash sqrt=\backslash sum\_^\backslash binomx^n=1+\backslash frac-\backslash frac+\; \backslash cdots$

が |x| < 1 なるとき成立する。

x > 0 に対して自然数 n に関して帰納的に

:

(x および根号の個数は n)と定めると、函数列 f_n は漸化式

:$f\_(x)^2\; =\; x\; +\; f\_n(x)$

に従い、f_n(x) > 0 が α(x) > 0 に収束するならば α(x)² - α(x) - x = 0 でなければならないから、

:

が成り立つ。

◆ 負の数の平方根

a が負の数のときは厄介な問題が生じる。平方根は実数の中には存在せず、複素数まで数の範囲を拡げると、 a の平方根、すなわち a = b² を満たすような b はふたつ存在するが、このふたつのうちのいずれを √a と定めるべきであるかということには必然的な答えを見出すことはできない。どちらを選んだのかを論理的に区別することができないのである。

b² = −1 の二つある根のうちどちらでもよいからひとつの解を i (虚数単位と呼ばれる)で表し、 負の数 a に対して

:$\backslash sqrt=\; \backslash sqrt\backslash ,i$

とする。

このように定義すれば、b² = a の根は ±√a と求めることができる(a = −1 のとき √−1 = i だからこう定めることに矛盾はない)。しかしながら、i は b² = −1 の根であればどちらでもよかったこと、どちらを選んでももう一方の根は −i であることを考えれば、負の数 a に対する √a という記号は単独で 方程式 b² = a の根のいずれか一方を一意的に指し示すものではなく 、 i のとり方に依存してようやく一つの数を指し示している、ということが理解されなければならない。

次の誤った「証明」は興味深いものである。

:$-1\; =\; i\; \backslash cdot\; i\; =\; \backslash sqrt\backslash cdot\backslash sqrt=\; \backslash sqrt=\; \backslash sqrt=\; 1$

この証明において成り立たないのは三番目の等号である。つまり、

:$\backslash sqrt\backslash sqrt=\; \backslash sqrt$

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