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対称行列(たいしょうぎょうれつ、)とは、正方行列 A のうち A の転置行列 A^T が A 自身と一致するもの。

:$$

A = A^ --> =

\begin

1 & 2 & 3 \\

2 & 4 & 5 \\

3 & 5 & 6 \\

\end

◆ 定義

n 次正方行列 A = (a_ij)_1≤i,j≤n が対称あるいは転置対称であるとは

:

a_ = a_ \mbox 1 \le i,j \le n

が成り立つことである。

◆ 性質

・ 実対称行列の固有値は全て実数である。

・ 正値実対称行列(対応する二次形式が正定値)の固有値は全て正の実数である。

・ 同じ型の対称行列の和、スカラー倍はまた対称行列である。したがって、同じ型の対称行列の全体は加群(ベクトル空間)をなす。n 次の対称行列のなす加群を Sym(n)、あるいは係数環が R であればそれを明示して、Sym(n; R), Sym_n(R) などとあらわす。

・ 実対称行列はある直交行列により対角化可能である。

・ n 次の実対称行列 A と n 次元ユークリッド空間 Rⁿ の標準内積(ユークリッド内積) (·, ·) に関して (x, Ay) = (Ax, y) (for all x, y ∈ Rⁿ) が成り立つ。すなわち、実対称行列はユークリッド内積に関して自己共役な作用素である。

◆ 二次形式

n 個の変数 x₁, x₂, ..., x_n に関する二次形式(斉二次の多項式)は、対称行列 A により

:$$

\mathbf^A\mathbf = (\mathbf, A\mathbf)

= \sum_ a_x_i x_j

のかたちで表すことができる。これを A に対応する二次形式といい、A をこの二次形式の係数行列とよぶ。また、この二次形式をジーゲルの記号 (Sigel's symbol) を使って A[外部リンク] style="color:#5555ff;">x と表す。

◆ 正値対称行列

実対称行列 A は対応する二次形式 A[外部リンク] style="color:#5555ff;">x が正値(または正定値)(すなわち任意の x ∈ Rⁿ に対し A[外部リンク] style="color:#5555ff;">x > 0)であるとき正値(または正定値)であるといい A > 0 で表す。同様に A[外部リンク] style="color:#5555ff;">x が非負値(または半正値)(すなわち任意の x ∈ Rⁿ に対し A[外部リンク] style="color:#5555ff;">x ≥ 0)であるとき非負値(または半正値)であるといい A ≥ 0 で表す。

◇ 正値対称行列の例

正値対称行列の例としては、次のようなものがあげられる。

・分散共分散行列

また、正定値性を調べることは、次のような行列において、重要な役割を担う。

・ヘッセ行列

◆ その他の例

単位行列、対角行列は対称行列である。

:$$

E = E^ --> =

\begin

1 & 0 & 0 \\

0 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 1 \\

\end

:$$

S = S^ --> =

\begin

1 & 0 & 0 \\

0 & -2 & 0 \\

0 & 0 & \frac\\

\end

◆ 関連項目

・ 行列 - 巡回行列

・ エルミート行列

・ 数学

・ 二次曲面

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