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包絡線(ほうらくせん、envelope)とは、与えられた曲線族と接線を共有する曲線、すなわち与えられた(一般には無限個の)全ての曲線たちに接するような曲線のことである。

一般的に最も身近な物として、振幅変調によるAMラジオ放送で利用されている。

包絡線は、次のようにして求められる。

媒介変数 t で添字付けられる n 次元ユークリッド空間 Rⁿ 上の曲線族 _t∈R に対する包絡線は、連立方程式

:$$

\begin

F_t(x_1,\dots,x_n) = 0 \\

\cfrac F_t(x_1,\dots,x_n) = 0

\end

から t を消去して得られる曲線 φ(x₁, ... ,x_n) = 0 に等しい。

◆包絡線の例

実数値の媒介変数 t で添字付けられる直線の族 _t∈R L_t : y = sin(t)x + cos(t) の包絡線を、実際に上の方法で求めてみる。

まず、L_t を sin(t)x - y + cos(t) = 0 の形に変形し t について偏微分すれば、

: $\backslash frac(\backslash sin(t)x\; -\; y\; +\; \backslash cos(t))\; =$

\cos(t)x - \sin(t)

となるから、包絡線を求めるための連立方程式

:$$

\begin

\sin(t)x - y + \cos(t) = 0, \\

\cos(t)x - \sin(t) = 0

\end

を得る。式を変形して x² - y² + 1 = 0。これが直線族 _t∈R の包絡線である。この場合、包絡線は双曲線であることがわかる。

◆ 関連項目

・ 曲線

・ 媒介変数

・ 包絡線検波

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・包絡線 page1