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円周率(えんしゅうりつ)とは数学定数の一つであり、π で表される。平面幾何学における円の周の長さと直径の比として特徴づけることができる。

円周率 π は超越数の一つとしても知られており、小数点以下 35 桁(35桁くらいまでが実用的で、ルドルフによる計算の結果という歴史的な意味もある)までの値は次のとおりである。

◆ 定義

円周率は、元々、平面幾何学で定義された数であるが、平面幾何学に留まらず数学のいろいろな分野でその姿をあらわす。円周率 π の導出方法は多いが、どの定義によっても同じ値が得られるので、その時に応じて使いやすい定義を用いればよい。

◇ 円周による定義

平面幾何学において円周の長さを、その直径で割って得られる値は円の大きさに関わらず一定の値を取る。この値を円周率といい π と書く。円周率の定義から、半径が 1 の円(単位円)においては、その円周の長さは 2π である。特に、単位円を表す式 x² + y² = 1 を考えると、π の値は

^1 \sqrt\right)^2 --> dx = \int_^1 dx --> -->

として積分によって求められる。

◇ 面積による定義

π を用いると半径 r の円の面積は π r² と表されることから逆に円の面積を求め、その円の半径の平方 r² で割って得られる値を π と定義してもよい。単位円の面積は丁度 π になることから、積分を使って

^1 y dx = 2 \int_^1 \sqrt dx -->

と定めても同じことである。

◇ 指数関数・三角関数による定義

複素数 z を変数に取る指数関数を

^ z^k = 1 + z + z^2 + z^3 + \cdots -->

で定義する。

exp(0) = 1 となるが、正の実数 t に対し exp(it) = 1 を満たす最小の t を 2π として π を定義できる(i は虚数単位)。この指数関数を用いて三角関数を

$\backslash sin(z)\; =$ -->

で定義すれば、正の実数 t に対して cos(t) = 0 を満たす最小の t が π/2 であり、 sin(t) = 0 を満たす最小の t が π である。すなわち、三角関数の零点によって円周率 π が定義される。

◇ 積分による定義

^ dx -->

によって定義されることもある。

逆正接関数 arctan(x) が

dt -->

と表されることから、この積分は三角関数による π の再定義の一種であるとも考えられるが、 この π の定義より先に三角関数が定義されている必要はなく、 arctan(x) という関数さえも上のような積分によって定義することができる。

arctan(x) のテイラー展開

^ \frac x^ = x - \fracx^3 + \fracx^5 - \fracx^7 + \fracx^9 - \cdots -->

に x = 1 を代入することによって

= 1 - \frac + \frac - \frac + \frac - \frac + \cdots (1400年頃:マーヴァダ、1671年:グレゴリ、1674年:ライプニッツ) -->

という級数が得られる。この級数の収束は極めて遅いが、部分和をとれば π の近似値を計算することもできる。

arcsin(x)のテイラー展開

^ \frac \frac = \sum^_ \frac x^\quad\mbox |x| < 1 --> -->

に x = 1/2 を代入することで

= \sum^_ \frac (n!)^2 (2n+1) --> -->

が得られる。この級数の収束は非常にはやいのでコンピュータで π の正確な値を求めるのに使うことができる。

◆ 歴史

(円周率の計算の歴史については 円周率の歴史も参照のこと。)

円の周と直径の比がどんな円についても同じ値になり、その数が3より少し大きい程度だと言うことは古代エジプトやバビロニア、インド、ギリシャの幾何学者たちにはすでに知られていた。また、古代インドやギリシャの数学者たちの間では半径 r の円の面積が π r² であることも知られていた。さらに、アルキメデスは半径 r の球の体積が $\backslash frac\backslash pi\; r^3$ であることや、この球の表面積が$4\backslash pi\; r^2$(同じ半径の円の面積の4倍)になることを示した。

14世紀インドの数学者・天文学者であるサンガマグラマのマドハヴァは次のような π の無限級数表示を見いだしている:

= 1 - \frac + \frac - \frac + \cdots +(-1)^n \frac \cdots -->

これは逆正接関数 Arctan(x) のテイラー展開の x = 1での実現になっている。マドハヴァはまた、

\left(1-+-+\cdots\right) -->

を用いてπ の値を小数点以下 11 桁まで求めている。

18世紀フランスの数学者アブラハム・ド・モワブルは、2n 回コインを投げたときに x 枚が表向きになる確率は、ある定数 C(彼はnが900の場合に数値計算によってその値を近似した)について

\right) -->

となっていることを見いだした。この正規分布の概念は1738年に出版されたドモワブルの『巡り合わせの理論』に現れている。ドモワブルの友人のジェイムズ・スターリングは後になってこの定数 C が であることを示している。

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