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:より一般的な導入として、黒体も参照

プランクの法則(―のほうそく)とは物理学における黒体放射の公式であり、温度 $T$ における黒体からの電磁輻射の分光放射輝度を全波長領域において正しく説明することができる。プランクはこの法則の導出を考える中で、空洞の壁の振動子のエネルギーがエネルギー素量(energy element、現在はエネルギー量子とよばれる)$\backslash epsilon\; =\; h\backslash nu$ の整数倍になっていると仮定した。このエネルギーの量子仮説(量子化)はその後の量子力学の幕開けに大きな影響を与えた。

プランクの法則は周波数 $\backslash nu$ と温度 $T$ の関数として

:

と表すことができる。

この関数は、放射面の単位面積、立体角、周波数あたりの放射強度を表す。プランクの法則は放射強度の全立体角についての積分として $u(\backslash nu,T)\; =\; \backslash pi\; I(\backslash nu,T)$ という形で表すこともできる。さらに単位体積あたりのエネルギーとして $u(\backslash nu,T)\; =\; 4\backslash pi\; I(\backslash nu,T)/c$ と書くこともできる。

関数 $I(\backslash nu,T)$ は $h\backslash nu\; =\; 2.82\; k\_\backslash mathrmT$ の位置にピークをもつKittel, Thermal Physics p98。関数の値は高周波数においては指数関数的に、低周波数においては多項式的に減少する。

波長 $\backslash lambda$ の関数として、プランクの法則は(単位立体角あたり)

:

という形であらわすことができる。

この関数は $hc\; =\; 4.97\; \backslash lambda\; k\_\backslash mathrmT$ の位置にピークをもつ。これはヴィーンの変位則でより一般的に用いられるピークである。

周波数範囲 $[外部リンク]\backslash nu\_1,\backslash nu\_2$ または波長範囲 $[外部リンク]\backslash lambda\_2,\backslash lambda\_1=[外部リンク]\; c/\backslash nu\_1$ において放射される放射輝度はそれぞれの関数の積分として求められる。

:$\backslash int\_^I(\backslash nu,T)\backslash ,d\backslash nu=\backslash int\_^I\text{'}(\backslash lambda,T)\backslash ,d\backslash lambda$

周波数が増加するとき波長は減少するため、2つの積分では上限・下限が入れ替わっている。

次の表に、数式の中に表れるそれぞれの記号の定義とSI単位・cgs単位を示す。

:

|erg?s^-1?cm^-2?Hz^-1?sr^-1, または erg?s^-1?cm^-2?sr^-1?cm^-1

|-

|$\backslash nu\; \backslash ,$

|周波数

|ヘルツ (Hz)

|ヘルツ

|-

|$\backslash lambda\; \backslash ,$

|波長

|メートル (m)

|センチメートル (cm)

|-

|$T\; \backslash ,$

|黒体の温度

| ケルビン (K)

|ケルビン

|-

|$h\; \backslash ,$

|プランク定数

|ジュール?秒 (J?s)

|エルグ?秒 (erg?s)

|-

|$c\; \backslash ,$

|光速

|メートル毎秒 (m/s)

|センチメートル毎秒 (cm/s)

|-

|$e\; \backslash ,$

|自然対数の底, 2.718281...

|無次元量

|無次元量

|-

|$k\; \backslash ,$

|ボルツマン定数

|ジュール毎ケルビン (J/K)

|エルグ毎ケルビン (erg/K)

| -->

◆ 概要

波長と周波数は

:$\backslash lambda\; =$

という関係式によって結びついている。

プランクの法則は分光エネルギー密度に関して

:

と表すこともできるBrehm, J.J. and Mullin, W.J., "Introduction to the Structure of Matter: A Course in Modern Physics," (Wiley, New York, 1989) ISBN 047160531X.。ここでエネルギー密度 $u$ は単位体積、単位周波数あたりのエネルギーの単位(ジュール毎立方センチメートル毎ヘルツ)をもつ。この式を周波数について積分をすれば、全エネルギー密度を得る。黒体の輻射場は光子気体と考えることができ、その場合エネルギー密度は光子気体の熱力学変数の一つとなる。

また分光エネルギー密度を波長の関数として

:

と表すこともできる。導出は後述する。

マックス・プランクは1900年(発行は1901年Planck, Max, "[外部リンク] On the Law of Distribution of Energy in the Normal Spectrum". Annalen der Physik, vol. 4, p. 553 ff (1901))にプランクの法則を生み出した。プランクの法則は最初、ヴィーンの放射法則より良い公式を得ようとする過程でみつけた公式だった。ヴィーンの放射法則はヴィルヘルム・ヴィーンが1896年に発表した公式であり、短波長(高周波数)においては実験データと一致するものの、長波長(低周波数)では一致しない。一方レイリー・ジーンズの法則(1900年に不完全な形でレイリーが発表した)は反対に長波長(低周波数)でよい一致を示す。プランクのみつけた前述の公式は、全ての波長領域において非常によく実験データと一致した。次にこの法則の導出を構築する過程で、プランクは物質中の荷電振動子の異なるモードについての電磁エネルギー分布を考えた。これらの振動子のエネルギーが離散的になっていると仮定したところ、プランクの法則を導出することができた。具体的には、エネルギーは振動数 $\backslash nu$ に比例する単位エネルギー $E$、即ち

:$E\; =\; h\backslash nu$

の整数倍になっていなくてはならない。

プランクはこの量子化の仮定を、アルベルト・アインシュタインが光電効果の説明のために光子の存在を仮定するよりも5年前に行っていた。この時点では、プランクは量子化は空洞壁面にあるであろう微小の共鳴子(、現在でいう原子)にのみ適用されるものであり、光それ自身が離散的なエネルギーの束や塊を伝播する性質を有しているとは仮定しなかった。更には、プランクはこの仮定にはなんら物理的重要性はなく、公式を導くための単なる数学的な道具に過ぎないと考えていた。

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