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フィックの法則とは、拡散に関する基本法則である。1855年、アドルフ・オイゲン・フィックによって発表された。気体、液体、固体(金属)どの拡散にも適用できる。フィックの法則には、第1法則と第2法則がある。

◆フィックの第1法則

第1法則は、定常状態拡散、すなわち、拡散による濃度が時間に関して変わらない時に使われる。工業的に定常状態拡散は水素ガスの純化に見られる。

J = -D\frac

・Jは拡散束または流束 (flux)といい、単位時間当たりに単位面積を通過する、ある性質の量と定義される。質量が通過する場合には次元は[外部リンク]gm^-2t^-1で与えられる。

・Dは拡散係数 (diffusion coefficient)といい、次元は[外部リンク]m²t^-1

・cは濃度で、次元は[外部リンク]gm^-3

・xは位置で、次元は[外部リンク]m

◇導出

単位面積の断面を持つ、パイプ状の物体を想定する。そして、パイプ中の溶質には、長さ方向に濃度の差(濃度勾配)があるとする。つまり、濃い部分から薄い部分へと溶質が流れる。この時、単位時間当たりに拡散する溶質、つまり拡散束をJとし、パイプ中の任意の位置xでの濃度をcとする。すると、Jは濃度勾配に比例することになり、式で表すと次のようになる。

J \propto \frac

ここで、

\frac > 0

ならば、溶質はxの負の方向に拡散する。これを考慮してマイナスの項を入れて、さらに比例数Dを入れると、フィックの第1法則が導き出される。

J = -D\frac

◆フィックの第2法則

第2法則は、非定常状態拡散、すなわち、拡散における濃度が時間に関して変わる時に使われる。実際の拡散の状態は、非定常状態がほとんどである。

\frac = D\frac

・Dは拡散係数といい、次元は[外部リンク]m²t^-1

・cは濃度で、次元は[外部リンク]gm^-3

・xは位置で、次元は[外部リンク]m

・tは時間で、次元は[外部リンク]s

◇導出

第2法則は、第1法則から導く。第1法則で導いたのと同じように、単位面積の断面を持つパイプ状の物体を想定する。xとx+dxにはさまれたdxの部分の濃度の時間的変化

\frac

を考え、任意の位置xでの濃度をc、x+dxでの濃度をc+dcとする。また、dx部分の濃度の時間変化は、第1法則と同様に次のようにする。

\frac > 0

この時、x+dxを通してdxに流れ込む溶質の量はJ_x+dx、dxからxを通して流れ出る溶質の量はJ_xである。これより、dx部分の濃度の時間変化は負の方向に拡散するので、これを考慮して以下の式になる。

\frac = \frac -->

   (1)

ここで第1法則より

・$$

J_x = -D\left( \frac \right)_x

・$$

J_ = -D\left( \frac \right)_x - \frac\left( D\frac \right)_xdx

J_xとJ_x+dxを(1)に代入してフィックの第2法則が導き出される。

\frac = \frac\left( D\frac \right)

・Dが定数の場合は、

:$$

\frac = D\frac

:となり、初期条件および境界条件によって、いくつかの解がある。

・Dが定数でない場合は、

:$$

\frac = \frac\left( D\frac \right) = \frac\frac + D\frac

:となり、解くのは困難である。

◆関連項目

・俣野界面

・カーケンドール効果

・ダーケンの理論

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・フィックの法則 page1