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ベクトル解析において、クロス積(クロスせき、cross product)、ベクトル積(ベクトルせき、vector product)とは、2 つの3次元ベクトル a と b に対して定義される演算 a × b である。

これは、外積の3次元での特殊ケースである。

◆ 定義

三次元ベクトル a, b の外積は次の定義による大きさと向きを持つ三次元ベクトルである。

a, b のなす角を θ とするとき、外積の大きさ $|\backslash mathbf\; a\backslash times\backslash mathbf\; b|$ は、

: $|\backslash mathbf\; a\backslash times\backslash mathbf\; b|\; =\; |\backslash mathbf\; a||\backslash mathbf\; b|\backslash sin\backslash theta$

で与えられる。これからわかるように、外積の大きさは、二つのベクトルが作る平行四辺形の面積である。また、その向きは、右手系の場合、a, b を含む平面で a をその始点の周りに (θ だけ) 回転させて b に重ねるとき、右ねじの進む向きである。すなわち,右手の親指をa、人差し指をbとしたときに中指が外積の向きを表す。なお、左手系の場合、b をその始点の周りに (θ だけ) 回転させて a に重ねるとき、右ねじの進む向きである。すなわち、左手の親指をa、人差し指をbとしたときに中指が外積の向きを表す。

成分で書くと、$\backslash mathbf\; a\; =\; (a\_x,\; a\_y,\; a\_z)$, $\backslash mathbf\; b\; =\; (b\_x,\; b\_y,\; b\_z)$ のとき、

: $\backslash mathbf\; a\backslash times\backslash mathbf\; b\; =\; (a\_y\; b\_z\; -\; a\_z\; b\_y,\; a\_z\; b\_x\; -\; a\_x\; b\_z,\; a\_x\; b\_y\; -\; a\_y\; b\_x)$

エディントンのイプシロン$\backslash epsilon\_$を用いると、

: $(\backslash mathbf\; a\backslash times\backslash mathbf\; b)\_i=\backslash epsilon\_a\_j\; b\_k$

行列式を使うと次のようにも書ける。

: $$

\mathbf a\times\mathbf b =

\begin

a_x & a_y & a_z\\

b_x & b_y & b_z\\

\mathbf e_x & \mathbf e_y & \mathbf e_z

\end =

\left(

\begina_y & a_z \\ b_y & b_z\end,

\begina_z & a_x \\ b_z & b_x\end,

\begina_x & a_y \\ b_x & b_y\end

\right)

ここで、e_x, e_y, e_z はそれぞれ x 軸, y 軸, z 軸の正の向きの単位ベクトル、e_x = (1, 0, 0), e_y = (0, 1, 0), e_z = (0, 0, 1) である。

◆ 外積の性質

任意のベクトル a, b, c ∈ R³、任意のスカラー k ∈ R について、

# $\backslash mathbf\; a\backslash times\backslash mathbf\; a\; =\; \backslash mathbf\; 0$

# $\backslash mathbf\; b\backslash times\backslash mathbf\; a\; =\; -\backslash mathbf\; a\backslash times\backslash mathbf\; b$

# $(\backslash mathbf\; a\; +\; \backslash mathbf\; b)\backslash times\backslash mathbf\; c\; =\; \backslash mathbf\; a\backslash times\backslash mathbf\; c\; +\; \backslash mathbf\; b\backslash times\backslash mathbf\; c$

# $\backslash mathbf\; a\backslash times(\backslash mathbf\; b\; +\; \backslash mathbf\; c)\; =\; \backslash mathbf\; a\backslash times\backslash mathbf\; b\; +\; \backslash mathbf\; a\backslash times\backslash mathbf\; c$

# $(k\backslash mathbf\; a)\backslash times\backslash mathbf\; b\; =\; \backslash mathbf\; a\backslash times(k\backslash mathbf\; b)\; =\; k(\backslash mathbf\; a\backslash times\backslash mathbf\; b)$

# $\backslash mathbf\; a\backslash times\backslash mathbf\; 0\; =\; \backslash mathbf\; 0\backslash times\backslash mathbf\; a\; =\; \backslash mathbf\; 0$

# $\backslash mathbf\; a\backslash times(\backslash mathbf\; b\backslash times\; \backslash mathbf\; c)\; +\; \backslash mathbf\; b\backslash times(\backslash mathbf\; c\backslash times\; \backslash mathbf\; a)\; +$

\mathbf c\times(\mathbf a\times \mathbf b) = \mathbf 0

# (ベクトル三重積)$\backslash mathbf\; a\; \backslash times\; (\; \backslash mathbf\; b\; \backslash times\; \backslash mathbf\; c)\; =\; (\backslash mathbf\; a\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\; c)\backslash mathbf\; b\; -\; (\backslash mathbf\; a\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\; b)\backslash mathbf\; c$

が成立する。ドット積とは性質 1. $\backslash mathbf\; a\backslash cdot\backslash mathbf\; a\; =\; |\backslash mathbf\; a|^2$, 2. $\backslash mathbf\; a\backslash cdot\backslash mathbf\; b\; =\; \backslash mathbf\; b\backslash cdot\backslash mathbf\; a$ が異なることに注意が必要。

7式は、いわゆる Jacobi Identity である。

◆ ベクトル三重積性質の証明

ベクトル三重積:$\backslash mathbf\; a\; \backslash times\; (\; \backslash mathbf\; b\; \backslash times\; \backslash mathbf\; c)$

ベクトル$\backslash mathbf\; a$とベクトル$(\backslash mathbf\; b\; \backslash times\; \backslash mathbf\; c)$の外積であるから、これはベクトルである。その成分は

: $\backslash \_x$

: $=\; a\_y\; (b\; \backslash times\; c)\_z\; -\; a\_z\; (b\; \backslash times\; c)\_y$

: $=\; a\_y\; (b\_x\; c\_y\; -\; b\_y\; c\_x)\; -\; a\_z\; (b\_z\; c\_x\; -b\_x\; c\_z)$

: $=\; a\_y\; b\_x\; c\_y\; -\; a\_y\; b\; \_y\; c\_x\; -\; a\_z\; b\_z\; c\_x\; +\; a\_z\; b\_x\; c\_z$

: $=\; (\; a\_y\; c\_y\; +\; a\_z\; c\_z)\; b\_x\; -\; (a\_y\; b\_y\; +\; a\_z\; b\_z)\; c\_x$

: $=\; (a\_y\; c\_y\; +\; a\_z\; c\_z)\; b\_x\; +\; a\_x\; b\_x\; c\_x\; -\; (a\_y\; b\_y\; +\; a\_z\; b\_z)\; c\_x\; -\; a\_x\; b\_x\; c\_x$

: $=(a\_x\; c\_x\; +\; a\_y\; c\_y\; +\; a\_z\; c\_z)\; b\_x\; -\; (a\_x\; b\_x\; +\; a\_y\; b\_y\; +\; a\_z\; b\_z)\; c\_x$

: $=(a\; \backslash cdot\; c)\; b\_x\; -\; (a\; \backslash cdot\; b)\; c\_x$

同様にして、y成分、z成分は、

: $=(a\; \backslash cdot\; c)\; b\_y\; -\; (a\; \backslash cdot\; b)\; c\_y$

: $=(a\; \backslash cdot\; c)\; b\_z\; -\; (a\; \backslash cdot\; b)\; c\_z$

ゆえに、

: $a\; \backslash times\; (b\; \backslash times\; c)\; =\; (a\; \backslash cdot\; c)\; b\; -\; (a\; \backslash cdot\; b)\; c$

◆他次元への拡張

◇行列式を使った拡張

行列式による定義

: $\backslash mathbf\; a\; \backslash times\; \backslash mathbf\; b\; =$

\begin

\mathbf e_1 & \mathbf e_2 & \mathbf e_3 \\

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3

\end =

\begin

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3 \\

\mathbf e_1 & \mathbf e_2 & \mathbf e_3

\end =

\left(

\begin a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end,

\begin a_3 & a_1 \\ b_3 & b_1 \end,

\begin a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end

\right)

を拡張して、n 次元ベクトルの n - 1 項演算としてのクロス積

: $\backslash times(\backslash mathbf\; a\_1,\; \backslash mathbf\; a\_2,\; \backslash cdots,\; \backslash mathbf\; a\_)\; =\; \backslash mathbf\; a\_1\; \backslash times\; \backslash mathbf\; a\_2\; \backslash times\; \backslash cdots\; \backslash times\; \backslash mathbf\; a\_=\; (\backslash pm)^$

\begin

\mathbf e_1 & \mathbf e_2 & \cdots & \mathbf e_n \\

a_ & a_ & \cdots & a_ \\

a_ & a_ & \cdots & a_ \\

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