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ガウスの法則とは(-ほうそく、Gauss's law)とはカール・フリードリヒ・ガウスが1835年に発見し1867年に発表された電荷と電場の関係をあらわす方程式である。この式はジェームズ・クラーク・マクスウェルにより数学的に整備されマクスウェルの方程式の1つとなった。電気におけるアンペールの法則とみなすこともできる。

ちなみに単位のガウスは磁束密度の単位であり電場を扱うこの法則とは全く関係がない。

◆ 積分形式

一般に積分形式とよばれるガウスの法則は以下の形であらわされる。

:$\backslash oint\_S\; \backslash mathbf\backslash cdot\; d\backslash mathbf=\; \backslash int\_V\; \backslash rho\; \backslash ,\; dV\; =\; Q$

ここで、

である。

この式は、ある領域内に電荷が存在すると、その領域から電荷と等しい大きさの電束という物理量が出入りするということを示している。

電場 E (D =εE)を用いて

:$\backslash oint\_S\; \backslash varepsilon\; \backslash mathbf\backslash cdot\; d\backslash mathbf=\; Q$

と表すこともできる。$\backslash varepsilon$は誘電率であり、非線形素子においては行列となることもあるが、線形の場合はスカラー量である。

◆ 微分形式

◇ 発散

閉曲面Sにおいて、ガウスの法則($\backslash oint\_S\; \backslash mathbf\backslash cdot\; d\backslash mathbf=\; Q$ )において、体積Vの微小変化による電束(ガウスの法則、面積分)の変化率をdivD で表す。

:$\backslash mathrm\backslash mathbf=\; \backslash lim\_\backslash frac\backslash oint\_\backslash mathbf\backslash cdot\; d\backslash mathbf$

ここでΔSはΔVの表面である。

また

:$\backslash mathrm\backslash mathbf=\; \backslash rho$

となる。

「div」は「ダイバージェンス(divergence)」と言い、「発散」と言う意味である。

◇ 直角座標における発散

直角座標においてdivD は、

:$\backslash mathrm\backslash mathbf=\; \backslash lim\_\backslash frac\backslash oint\_\backslash mathbf\backslash cdot\; d\backslash mathbf=$

\left(\frac + \frac + \frac\right)

となる。

微分形式と呼ばれるガウスの法則は以下の形であらわされる。この形はジェームズ・クラーク・マクスウェルにより整備された。

:$\backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash mathbf=\; \backslash rho$

ここで、

である。∇(ナブラ)は微分演算子である。

また、E-B対応 と呼ばれる形に改めると、

:$\backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash mathbf=\; \backslash frac$

となる。

◆ 関連項目

・ ガウスの定理

・ アンペールの法則

・ マクスウェルの方程式

・ クーロンの法則

・ カール・フリードリヒ・ガウス

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・ガウスの法則 page1